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要解决给定两个正序数组 nums1 和 nums2，找到它们合并后的中位数的问题，可以采用二分查找的方法，以确保时间复杂度为 O(log(m+n))。以下是详细的思路和步骤：

问题分析

给定两个有序数组 nums1 和 nums2，要求找到它们合并后的中位数。中位数的定义是：

• 如果合并后的数组长度为奇数，中位数是中间的那个数；
• 如果合并后的数组长度为偶数，中位数是中间两个数的平均值。

直接合并两个数组后取中位数的时间复杂度为 O(max(m, n))，这不符合题目要求的 O(log(m + n)) 时间复杂度，因此需要更高效的方法。

解决思路

采用二分查找的方法来找到合适的切分点，使得两个数组的切分位置满足中位数的条件。具体步骤如下：

方法实现

为了实现这个思路，我们可以编写一个递归函数 findKth，用于找到第 k 小的数。这个函数通过二分查找来确定在两个数组中的位置，并根据需要调整 k 的值，最终返回第 k 小的数。

代码逻辑

public class Solution {    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {        int m = nums1.length;        int n = nums2.length;        int total = m + n;        if (total % 2 != 0) {            return findKth(nums1, nums2, total / 2, 0, m - 1, 0, n - 1);        } else {            int k1 = findKth(nums1, nums2, total / 2, 0, m - 1, 0, n - 1);            int k2 = findKth(nums1, nums2, (total / 2) - 1, 0, m - 1, 0, n - 1);            return (k1 + k2) / 2.0;        }    }    public static int findKth(int[] nums1, int[] nums2, int k, int aStart, int aEnd, int bStart, int bEnd) {        int aLen = aEnd - aStart + 1;        int bLen = bEnd - bStart + 1;        if (aLen == 0) {            return nums2[bStart + k];        }        if (bLen == 0) {            return nums1[aStart + k];        }        if (k == 0) {            return nums1[aStart] < nums2[bStart] ? nums1[aStart] : nums2[bStart];        }        int aMid = aLen * k / (aLen + bLen);        aMid += aStart;        int bMid = k - aMid;        bMid += bStart;        if (nums1[aMid] > nums2[bMid]) {            k -= (bMid - bStart + 1);            aEnd = aMid - 1;            bStart = bMid + 1;        } else {            k -= (aMid - aStart + 1);            bEnd = bMid - 1;            aStart = aMid + 1;        }        return findKth(nums1, nums2, k, aStart, aEnd, bStart, bEnd);    }}

代码解释

优化考虑

• 递归终止条件：当 aLen 或 bLen 为 0 时，直接返回另一个数组中的第 k 小的数。
• k 调整逻辑：根据当前 aMid 和 bMid 的值，调整 k 的值以缩小搜索范围。
• 时间复杂度：通过每次递归将搜索范围大致减半，确保时间复杂度为 O(log(m + n))。

总结

通过使用二分查找的方法，可以高效地找到两个有序数组合并后的中位数，时间复杂度为 O(log(m + n))，满足题目的要求。这种方法避免了直接合并数组的高时间复杂度，并且能够处理大规模数据。

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